ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ

Оценки спектральных радиусов

Читать полностью в формате WORD

ВВЕДЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. Интегральные операторы
§1. Операторы.
§2. Конусы
§3. Интегральные операторы
§4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения типа свертки
Глава 2. Оценки спектральных радиусов интегральных операторов.
§1. Сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов
§2. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора
§3. Новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора
ГЛАВА 3. Интегральные операторы в пространствах Лебега и Лоренца
§1. Пространства Лебега и Лоренца
§2. Условия ограниченности интегрального оператора в пространствах Лоренца
§3. Обобщенное неравенство Юнга – О’Нейла
Заключение
Литература.

Функциональный анализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.
Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А.
Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операторов, являются, во-первых, вопросы качественного характера и, во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. В настоящей работе исследуются лишь некоторые вопросы. Например, такие вопросы, как: оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора, сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов, и др.
Актуальность работы. Возможность существования непрерывного спектра является характерной чертой линейных операторов общего вида в бесконечномерном пространстве. Конечномерные линейные преобразования и интегральные операторы без особенностей не имеют непрерывного спектра.
Спектральный анализ операторов, в первую очередь самосопряженных, находит многочисленные применения в теории колебаний, теории стационарных случайных процессов, квантовой механике, дифференциальных и интегральных уравнениях, и др. областях математики и математической физики.
Цели дипломной работы. На базе ранее изученных дисциплин обобщить знания по математическим дисциплинам, обобщить теоретические знания и практические навыки; рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений, рассмотреть оценки спектральных радиусов интегральных операторов, получить оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора.
Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:
1. раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;
2. изучить понятие спектра для интегрального оператора, обобщить известное понятие неразложимости на более широкий класс операторов ( -неразложимые, неразложимые нелинейные операторы).
3. Оценить спектральный радиус интегрального оператора для операторных уравнений с операторами различной природы.
Новизна работы. В работе приведены оценки спектральных радиусов линейных положительных полукоммутирующих операторов.
Дипломная работа состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы. В работе для целостности изложения приведен ряд известных результатов, которые сопровождаются ссылками.
В первой главе содержатся необходимые теоретические знания, касающиеся теории операторов, различных видов операторов, рассмотрены их основные свойства. Параграф второй содержит понятие конуса, основные виды и свойства конусов, т.к. в пространствах с конусами очень удобно рассматривать интегральные операторы. В этом параграфе понятие конуса рассматривается также с экономической точки зрения.
Параграф 4 содержит сведения, касающиеся интегральных уравнений с вырожденным ядром и уравнений типа свертки.
Вторая глава посвящена рассмотрению вопросов, связанных с исследованием вычисления спектрального радиуса интегрального оператора. Рассматривается понятие спектрального радиуса линейного оператора, в терминах этого понятия приводятся важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда). Исследуются вопросы, связанные со сравнением спектральных радиусов двух положительных операторов. Рассматриваются оценки спектральных радиусов двух интегральных операторов различной природы, приведены примеры, иллюстрирующие эти результаты. Также приведены новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора.
В главе III изучается влияние взаимного расположения особенностей ядра интегрального оператора на его норму, спектральный радиус. Рассмотрены верхние и нижние оценки интегральных операторов. На основе этих неравенств вводится отношение частичного порядка, позволяющее в некоторых случаях сравнивать нормы интегральных операторов. Рассмотрены оценки нормы интегрального оператора в пространствах Лебега и Лоренца, автором сформулировано замечание к теореме для трехпараметрического пространства Лоренца.

Список использованной литературы

1. Fenyö S. , Stolle H.W. Theorie und Praxis der linearen Integralgleihungen. I – Berlin: Dtsch. Verl., 1982. – 328 s.
2. Fenyö S. , Stolle H.W. Theorie und Praxis der linearen Integralgleihungen. I. – Berlin: Dtsch. Verl., 1983. – 376 s.
3. Банах С. Теория линейных операций.- М.: Наука, 2001.- 272 с.
4. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности линейных положительных операторов// Сиб. мат. журн. – 1962. – Т.3. №1. – С.157–160.
5. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства.- М: Комкнига, 2007. – 280 с.
6. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. Физматгиз, М., 1964
7. Боголюбов Н.Н., Крейн С.Г. О позитивных вполне непрерывных операторах// Труды института математики АН СССР. – 1948 – Т.9, №1 – С.3–95.
8. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. – М.: Физматгиз, 1961. – 399 с.
9. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967.– 415 с.
10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М: Физматлит, 2004. – 576с.
11. Гробова Т.А. // Оценки спектрального радиуса интегрального оператораСтаврополь: Изд. СГУ, Вестник СГУ, выпуск 28, 2001. – с. 12-16.
12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. – М.: Издательство иностранная литература, 2004. – 895c.
13. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц// Доклады АН СССР. – 1964. – т.157, №2.
14. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: 14. BHV-Санкт-Петербург, 14. Невский Диалект, 2004. – 814 с.
15. Канторович Л.В., Вулих Б.З. Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. - М.: Физматгиз, 1959. - 684с.
16. Колатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. – М.: Мир, 1969. – 447с.
17. Колмогоров А.Н., Фомин С.И. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Физматлит, 2004.- 572 с.
18. Костенко Т.А. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтения –IX. Тезисы докладов. – Воронеж: ВГУ, 1998. – С.107.
19. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах в -пространствах//Фундаментальная и прикладная математика, 1999, том 5, №2, с.475-491.
20. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. – М.: Мир, 1988. – 394с.
21. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. – М: Наука, 1989. – 456с.
22. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев В.И. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. – М: Наука, 1985. – 256 с.
23. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М: Наука, 1965. – 520 с.
24. Наймарк М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. – М.: Наука, 1969. – 311 с.
25. Рисс Ф., Надь Б.С. Лекции по функциональному анализу. – М.: Мир, 1979. – 500 с.
26. Семилетов В. А. К теории операторных уравнений с линейными и нелинейными неразложимыми операторами: Дис... к-та физ.-мат. наук. Ростов – на - Дону, 2004, 119 с.
27. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том V. – М.: Наука, 1974. – 354 с.
28. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир, 1974.
29. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. – Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. – 168 c.
30. Функциональный анализ. Под ред. Крейна С.Г. – М.: Наука, 1972. – 544 с.

Просмотров: 232